泛函分析笔记

By Z.H. Fu
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一、度量空间

1.1 度量空间

所谓 度量空间,就是指对偶\((X,d)\) ,其中\(X\)是一个集合, \(d\)\(X\)上的一个度量(或\(X\)上的距离函数), 即\(d\)是定义在\(X\times X\)上且对所有\(x,y,z\in X\)满足以下四条公理的函数:

(M1) \(d\)是实值、有限和非负的。 (M2) 当且仅当\(x=y\)时,\(d(x,y)=0\)。 (M3) \(d (x, y) =d(y, x)\) (对称性 ) (M4) \(d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)\) (三角不等式)

注:(M4)三角不等式可推广到多项:\(d(x_1,x_n)\le d(x_1,d_2)+d(x_2,x_3)+\cdots+d(x_{n-1},x_n)\)

诱导度量

如果取子集\(Y\subset X\)且把\(d\)限制在\(Y\times Y\)上,则可得\((X,d)\)的一个子空间\((Y,\tilde{d})\)因而F上的度量就是限制\(\tilde{d}=d|_ {Y\times Y}\) \(\tilde{d}\)叫做\(d\)\(Y\)上诱导出来的度量。

度量空间例子

\(\mathbb{R},\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n,\mathbb{C}\)都是度量空间。 序列空间\(l^\infty\):我们取一切有界的复数序列的集合作为基集\(X\),也就是说\(X\)中每个元素都是形如\(x=(\xi_1,\xi_2,\cdots)\)的复数序列。且\(\xi_j\le c_x\)\(d(x,y)=\sup_{j\in N}|\xi_j-\eta_j|\)