如何理解拉格朗日方程

如何理解拉格朗日方程

By Z.H. Fu

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拉格朗日方程是理论力学中非常重要的一个方程,它和牛顿力学一样,都是一种对力学系统的描述。但与牛顿力学不同的是,他以整个系统的视角来分析系统的运动状态,而牛顿力学则是对每一个质点进行单独的分析。两种方法等效、且可相互推导,但使用场景则大不相同。本文旨在通过牛顿力学来导出拉格朗日方程。

拉格朗日方程导出

我们研究物体在保守系统中的运动情况。所谓保守系统,是指物体所受的力都是保守力。而保守力则是指物体在该力的作用下做功的大小与路径无关。
我们首先给出牛顿第二定律:
$$ma=F$$
以下的步骤皆是通过对牛顿第二定律的变形,来得出拉格朗日方程。我们先补充一个动量$p$、速度$v$和动能$T$的等式。我们有
$$\frac{\partial T}{\partial v}=\frac{\partial (\frac{1}{2}mv^2)}{\partial v}=mv=p$$
可以看出动能关于速度的导数是动量。而
$$\frac{dp}{dt}=\frac{mdv}{dt}=ma$$
我们把速度$v$记作$\dot{x}$,有:
$$ma=m\ddot{x}_i=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}$$
同时,我们来看势能$U$与力$F$的关系:
$$F=-\frac{\partial U}{\partial x}$$
带入牛顿第二定律有:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}+\frac{\partial U}{\partial x}=0$$
我们观察到,$T$与$x$无关,而$U$与$\dot{x}$无关,因此我们令$L=T-U$,带入得:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$
这个$L$叫做拉格朗日函数(Lagrangian)。拉格朗日方程有两个很重要的特点。

拉格朗日方程的特点

第一个特点就是对各种广义坐标都是成立的,换而言之,这里的位移$x$、速度$\dot{x}$换成其他的广义位移$r$、广义速度$\dot{r}$,这个方程仍然成立!
第二个特点就是,哈密顿原理中的那个作用量($S=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t), q’(t), t)dt$),恰好是拉格朗日函数的积分,而且让作用量变分等于0($\delta S=0$),也能导出拉格朗日方程。

参考文献

[1] Shapiro J A. Classical Mechanics[J]. 2003.