如何理解拉格朗日方程

By Z.H. Fu
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拉格朗日方程是理论力学中非常重要的一个方程,它和牛顿力学一样,都是一种对力学系统的描述。但与牛顿力学不同的是,他以整个系统的视角来分析系统的运动状态,而牛顿力学则是对每一个质点进行单独的分析。两种方法等效、且可相互推导,但使用场景则大不相同。本文旨在通过牛顿力学来导出拉格朗日方程。

拉格朗日方程导出

我们研究物体在保守系统中的运动情况。所谓保守系统,是指物体所受的力都是保守力。而保守力则是指物体在该力的作用下做功的大小与路径无关。 我们首先给出牛顿第二定律: \[ma=F\] 以下的步骤皆是通过对牛顿第二定律的变形,来得出拉格朗日方程。我们先补充一个动量\(p\)、速度\(v\)和动能\(T\)的等式。我们有 \[\frac{\partial T}{\partial v}=\frac{\partial (\frac{1}{2}mv^2)}{\partial v}=mv=p\] 可以看出动能关于速度的导数是动量。而 \[\frac{dp}{dt}=\frac{mdv}{dt}=ma\] 我们把速度\(v\)记作\(\dot{x}\),有: \[ma=m\ddot{x}_i=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}\] 同时,我们来看势能\(U\)与力\(F\)的关系: \[F=-\frac{\partial U}{\partial x}\] 带入牛顿第二定律有: \[\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}+\frac{\partial U}{\partial x}=0\] 我们观察到,\(T\)\(x\)无关,而\(U\)\(\dot{x}\)无关,因此我们令\(L=T-U\),带入得: \[\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}-\frac{\partial L}{\partial x}=0\] 这个\(L\)叫做拉格朗日函数(Lagrangian)。拉格朗日方程有两个很重要的特点。

拉格朗日方程的特点

第一个特点就是对各种广义坐标都是成立的,换而言之,这里的位移\(x\)、速度\(\dot{x}\)换成其他的广义位移\(r\)、广义速度\(\dot{r}\),这个方程仍然成立! 第二个特点就是,哈密顿原理中的那个作用量(\(S=\int_{t_1}^{t_2}L(q(t), q'(t), t)dt\)),恰好是拉格朗日函数的积分,而且让作用量变分等于0(\(\delta S=0\)),也能导出拉格朗日方程。

参考文献

[1] Shapiro J A. Classical Mechanics[J]. 2003.