伊辛模型(Ising Model)

伊辛模型(Ising Model)

By Z.H. Fu

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简介

Ising Model(伊辛模型)最早用于磁性材料的研究,而后来在社会学中也取得了重要的应用,Ising Model可衍生出投票模拟和种族隔离模型(诺贝尔奖得主Thomas C. Schelling)。Ising Model对磁性物质极性建模模型如下:

模型




假设一个系统有两种状态A、B,在每种状态下有对应的能量$E_A,E_B$,而每种状态出现的概率与能量相关为:
$$p_A=\frac{1}{Z}e^{-E_A/T}$$
$$p_B=\frac{1}{Z}e^{-E_B/T}$$
$$Z=e^{-E_A/T}+e^{-E_B/T}$$
其中T是温度,Z是归一化项,可见能量越高的状态,概率越小;能量越低的状态,概率越大,而一个系统的能量跟这个系统里的所有粒子状态有关,假设每个粒子$S_i$只能有两种状态$\{+1,-1\}$,所有的粒子分布在网格的格点上,相邻粒子有相互作用,那么Ising Model定义能量为:
$$E=-J\sum_{i,j}S_iS_j-H\sum_iS_i$$

模型含义

我们来看这个式子。首先,在概率模型中,温度T是一个平滑项项,温度越高,则所有的能量都差不多(指数那坨除了一个很大的数,趋于0),概率分布倾向于均匀分布,当温度等于0时,能量最小那个系统状态概率为1。H表示外在磁场,在投票模型中表示政府的指导意见,和H相同的状态能量低,与H相反的状态能量高,$J$表示两个相连的粒子的同向状态,同向,则能量$-J$,反向则能量$+J$。
在物理学中,需要遵从能量守恒,因此,两个粒子间的联系一定是相互的,即如果$i$连接了$j$,那么$j$一定连接$i$,因为如果不是这样的话,假设$i$连接$j$,$j$不连接$i$,$i$和$j$同向,那么反转$i$,能量将增大,由于$j$不连接$i$,再反转$j$,能量不变,之后再反转$i$,能量再增大,如此循环,能把能量搞成永动机。而在社会学中,这点不必要存在,例如a喜欢b,但b可以不喜欢a。
Thomas C. Schelling提出了Schelling Model用于对种族隔离的建模,每个粒子是个人,而他的种族就是其状态,一个种族的人多了,其他人种族的人会搬走。

参考文献

[1] 2011. Statistical Physics for Humanities: A Tutorial. Dietrich Stauffer