组合数公式的直观理解及其推广

By Z.H. Fu
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  组合数是排列组合中最基础的一个公式,本文首先给出组合数公式的一个直观理解,并将其推广为多分组公式。   组合数定义为: \[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] 一般对这个公式的理解是从\(n\)个物品中选取\(k\)个物品的方法数,在这里我们从另一个角度来理解这个公式:将n个物品分为两堆,一堆\(k\)个,一堆\(n-k\)个,一个直观的示意图如下图所示 组合示意图 在这里,\(n!\)表示将\(n\)个物品一个一个地放入格子中,第一个物品有\(n\)种选择,第二个物品有\(n-1\)种选择,以此类推。这样,两堆就分好了,但是要注意到的是,这里的分堆是与顺序无关的,因此要分别除以没一堆的全排列个数,这样就得到了总的分堆方法。   那么自然地,我们可以将上面的概念推广到\(m\)堆的情况,即求\(n\)个物品,分入\(m\)堆中,每一堆的个数分别为\(k_1,k_2,\cdots,k_m\),那么总的分类个数有 \[\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}\] 示意图如下: 组合示意图 我们仿照组合数的定义,给出多分类的组合数,有: \[\binom{n}{k_1!k_2!\cdots k_m!}=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}\] 类似于二项式系数,这个组合数也叫做多项式系数,可用于表示多项式展开后各项的系数情况,我们讲一个多项式展开,其中每一项的系数就等于多项式系数,有: \[(x_1+x_2+\cdots +x_m)^n=\sum_{k_1+k_2+\cdots k_m=n}\binom{n}{k_1!k_2!\cdots k_m!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}\] 即是说,\(\binom{n}{k_1!k_2!\cdots k_m!}\)就是多项式\((x_1+x_2+\cdots +x_m)^n\)展开后,\(x_1^{k_1} x_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}\)那一项的系数。

参考文献

[1] 概率与数理统计 陈希孺